Chapter
कक्षा 10 गणित (हिंदी माध्यम)
अध्याय 1 : वास्तविक संख्याएँ (Real Numbers)
प्रश्नावली 1.1 — NCERT
प्रश्न 1
प्रत्येक संख्या को उसके अभाज्य गुणन (prime factorisation) के रूप में व्यक्त कीजिए :
(i) 140 \
(ii) 156 \
(iii) 3825 \
(iv) 5005 \
(v) 7429
समाधान 1
(i) (140 = 2 \times 70 = 2 \times 2 \times 35 = 2^2 \times 5 \times 7)
⇒ (140 = 2^2 \times 5 \times 7)(ii) (156 = 2 \times 78 = 2 \times 2 \times 39 = 2^2 \times 3 \times 13)
⇒ (156 = 2^2 \times 3 \times 13)(iii) (3825) को विभाजित करके:
(3825 \div 3 = 1275), फिर (1275 \div 3 = 425), फिर (425 \div 5 = 85), फिर (85 \div 5 = 17) (17 अभाज्य)
⇒ (3825 = 3^2 \times 5^2 \times 17)(iv) (5005 = 5 \times 1001 = 5 \times 7 \times 143 = 5 \times 7 \times 11 \times 13)
⇒ (5005 = 5 \times 7 \times 11 \times 13)(v) (7429) का विभाजन: (7429 = 17 \times 19 \times 23) (961 = 31^2 नहीं; पर 17×19×23 = 7429)
⇒ (7429 = 17 \times 19 \times 23)
प्रश्न 2
निम्न युग्मों का LCM और HCF निकालिए तथा सत्यापित कीजिए कि LCM × HCF = दोनों संख्या का गुणनफल (product)।
(i) 26 और 91 \
(ii) 510 और 92 \
(iii) 336 और 54
समाधान 2
सामान्य विधि: ( \text{HCF} = \gcd(a,b)), ( \text{LCM} = \dfrac{a \times b}{\text{HCF}} ).
(i) (26 = 2 \times 13,\; 91 = 7 \times 13)
⇒ HCF = (13).
⇒ LCM = (\dfrac{26\times91}{13} = 26 \times 7 = 182).
जाँच: (182 \times 13 = 2366 = 26 \times 91). ✔(ii) (510 = 2 \times 3 \times 5 \times 17,\; 92 = 2^2 \times 23)
सामान्यतः gcd = 2.
⇒ HCF = (2).
⇒ LCM = (\dfrac{510\times92}{2} = 255\times92 = 23460).
जाँच: (23460 \times 2 = 46920 = 510 \times 92). ✔(iii) (336 = 2^4 \times 3 \times 7) (क्योंकि (336=16\times21)), (54 = 2 \times 3^3)
⇒ HCF = (2 \times 3 = 6).
⇒ LCM = (\dfrac{336\times54}{6} = 56\times54 = 3024).
जाँच: (3024 \times 6 = 18144 = 336 \times 54). ✔
प्रश्न 3
प्राइम फैक्टराइज़ेशन विधि द्वारा निम्न पूर्णांकों का LCM और HCF ज्ञात कीजिए :
(i) 12, 15 और 21 \
(ii) 17, 23 और 29 \
(iii) 8, 9 और 25
समाधान 3
(i) (12 = 2^2 \times 3,\; 15 = 3 \times 5,\; 21 = 3 \times 7)
HCF = साझा न्यूनतम घातों का गुणन = (3^1 = 3).
LCM = प्रत्येक अभाज्य का अधिकतम घात: (2^2 \times 3^1 \times 5 \times 7 = 4 \times 3 \times 5 \times 7 = 420).
⇒ HCF = 3, LCM = 420(ii) (17, 23, 29) — ये तीनों अभाज्य (prime) हैं और किसी में साझा अभाज्य नहीं।
⇒ HCF = 1, LCM = (17 \times 23 \times 29 = 11339)(iii) (8 = 2^3,\; 9 = 3^2,\; 25 = 5^2) — कोई साझा अभाज्य नहीं।
⇒ HCF = 1, LCM = (2^3 \times 3^2 \times 5^2 = 8 \times 9 \times 25 = 1800)
प्रश्न 4
दिया गया है कि HCF(306, 657) = 9. तब LCM(306, 657) क्या होगा?
समाधान 4
संबंध: (\text{HCF}(a,b) \times \text{LCM}(a,b) = a \times b).
तो (\text{LCM} = \dfrac{306 \times 657}{9} = \dfrac{306 \times 657}{9} = 22338).
⇒ LCM(306,657) = 22338
(कैलकुलेशन: (306/3=102,\;657/3=219) परन्तु दिए गए HCF=9 सीधे उपर्युक्त विभाजन से परिणाम आता है।)
प्रश्न 5
किसी भी प्राकृतिक संख्या (n) के लिए जाँच कीजिए कि क्या (6^n) कभी अंक 0 पर समाप्त हो सकता है? (यानी क्या किसी (n) के लिए (6^n) का एकाई अंक 0 होगा?)
समाधान 5
किसी संख्या का अंतिम अंक 0 तभी होगा जब वह संख्या 10 से विभाज्य हो, अर्थात् उसमें 2 और 5 दोनों कारक मौजूद हों।
परंतु (6^n = 2^n \times 3^n) में कभी भी 5 का गुणक नहीं आता। अतः (6^n) किसी भी (n) पर 5 से विभाज्य नहीं होगा, इसलिए अंतिम अंक 0 कभी नहीं होगा।
⇒ 6^n कभी 0 पर समाप्त नहीं होता।
प्रश्न 6
सिद्ध कीजिए कि निम्नांकित संख्या समिश्र (composite) हैं :
(a) (7\times11\times13 + 13) \
(b) (7\times6\times5\times4\times3\times2\times1 + 5)
समाधान 6
(a) (7\times11\times13 + 13 = 13(7\times11 + 1) = 13(77 + 1) = 13 \times 78) जो स्पष्ट रूप से 13 और 78 के गुणनफल के रूप में है → composite।
(b) (7\times6\times5\times4\times3\times2\times1 = 7! = 5040).
तो (7! + 5 = 5040 + 5 = 5045 = 5 \times 1009). (क्योंकि (5040) में 5 का गुणक है, इसलिए (5040+5) भी 5 से विभाज्य)
अतः यह भी composite है।
प्रश्न 7
एक खेल के मैदान के चारों ओर वृत्ताकार मार्ग है। सोनिया एक चक्कर लगाने में 18 मिनट लेती है और रवि उसी चक्कर को 12 मिनट में पूरा करता है। यदि वे दोनों एक ही समय पर और एक ही बिंदु से एक ही दिशा में चलना शुरू करते हैं, तो वे कितने मिनट के बाद वापस उसी प्रारम्भिक बिंदु पर साथ मिलेंगे?
समाधान 7
उन्हें दोनों फिर से एक साथ प्रारम्भिक बिंदु पर उस समय मिलेंगे जब समय दोनों के गति-चक्रों का LCM हो।
यहाँ LCM(18, 12) = 36 मिनट।
⇒ वे 36 मिनट के बाद फिर से साथ प्रारम्भिक बिंदु पर मिलेंगे।
समाप्त
ये समाधान पूर्णतः NCERT की प्रश्नावली 1.1 के अनुसार दिए गए प्रश्नों के अनुरूप हैं। (संदर्भ: NCERT पाठ्यपुस्तक — Real Numbers, Exercise 1.1). 1